Grundlagen der Schwimmstabilität von Schiffen

Inhalt: physikalische Grundlagen - mathematische Grundlagen  - Schiffshydrostatik

physikalische Grundlagen

Inhalt: Vektoren - Flächen- und Volumenschwerpunkte -  Gleichgewicht - Stabilität -  Archimedisches Prinzip - Bewegung eines Pendels

Für die Schwimmstabilität von Schiffen gelten selbstverständlich die selben physikalischen Gesetze, wie im Allgemeinen. Da trotzdem immer wieder Missverständnisse und unnötig komplizierte Betrachtungsweisen zu beobachten sind, möchte ich auch die für diesen Bereich wichtigen Grundlagen hier darstellen. Die Darstellungsweise und die Beispiele sind dabei bewusst auch themenbezogen gewählt und mögen daher verkürzend erscheinen.
Vektoren
Unter einem Vektor versteht man eine gerichtete Größe. Das bedeutet, dass ein Vektor eben eine Richtung und eine Größe besitzt. Beschränkt man sich bei der Betrachtung auf den dreidimensionalen Raum, den wir aus dem persönlichen Erleben kennen, kann ein Vektor durch die Längen in jeder der drei Raumrichtungen sowie einen Startpunkt beschrieben werden.


Die physikalische Erscheinung einer Kraft kann durch das mathematische Modell des Vektors beschrieben werden, da eine Kraft ebenfalls einen Angriffspunkt an einem Körper besitzt und in einer bestimmten Richtung wirkt. Wichtig zu wissen ist, dass eine Kraft längs ihrer Wirklinie, also ihrer Richtung, verschoben werden kann, ohne dass sich ihre Wirkung auf das System verändert.
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Flächen- und Volumenschwerpunkte
Die Schwerpunkte von Flächen und Volumen sind bei der Betrachtung der Schwimmstabilität von Bedeutung, da zum Einen Bewegungen eines schwimmenden Körpers um den Flächenschwerpunkt der Wasserlinienfläche stattfinden und zum Anderen Auftriebskräfte im Volumenschwerpunkt des eingetauchten Volumens angreifen. Bei der Bewegung um einen Flächenschwerpunkt ist zu beachten, dass sich dieser Schwerpunkt mit der Bewegung kontinuierlich ändert. Es ist also nur bedingt möglich, einen für eine aufrechte Schwimmlage ermittelten Flächenschwerpunkt bei gekrängter Schwimmlage weiterhin zu Grund zu legen. Auch der Volumenschwerpunkt ändert sich mit der Schwimmlage. Das ist, wie sich später erklären wird, eine wichtige Eigenschaft, die die Schwimmstabilität erst ermöglicht.
Obwohl wohl jeder aus Alltagserfahrungen weiß, was ein Schwerpunkt ist, soll hier noch ein analytischer Ansatz dafür aufgezeigt werden, wie ein Schwerpunkt verstanden werden kann.



Nimmt man eine Fläche aus vielen sehr viel kleineren Einzeflächen bestehend an, so gibt es für jede beliebige Richtung eine Achse, für die Folgendes gilt:
Jede Teilfläche wird mit ihrem Abstand von der Achse multipliziert. Alle Produkte aus Abstand und Fläche zu jeder Seite der Achse werden summiert. Ist diese Summe auf beiden Seiten der Achse gleich groß, verläuft sie durch den Flächenschwerpunkt. Der Schnittpunkt zweier durch den Schwerpunkt verlaufender Achsen muss dann also der Schwerpunkt sein.
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Gleichgewicht
Der Begriff Stabilität weist ja schon darauf hin, dass zunächst nur Gleichgewichtszustände betrachtet werden. Hierfür ist das 1. Newtonsche Axiom wohl der wichtigste Lehrsatz. Es besagt, dass sich ein Körper im Zustand der Ruhe oder gleichförmigen Bewegung befindet, wenn die Summe aller auf ihn wirkenden Kräfte und Momente gleich null ist. Das bedeutet im Umkehrschluss, dass immer dann, wenn eine Kraft oder ein Abstand zwischen den Wirkungslinien zweier Kräfte übrigbleibt, sich etwas bewegt.



Der rote Pfeil stellt die Gewichtskraft des Koffers dar, der grüne Pfeil die Kraft, die die Hand aufbringt. Sie sind gleich groß und entgegensetzt gerichtet und heben sich somit auf. Der Koffer bewegt sich weder nach unten, noch nach oben. Der Abstand zwischen den Wirkungslinien der Kräfte bewirkt, dass der Koffer nach hinten kippt. Um das auszugleichen, muss die Hand ein Moment aufbringen, dass dem Abstand multipliziert mit der Gewichtskraft entspricht. Diese Erfahrungstatsachen sind soweit wohl allgemein bekannt.
Auch das Phänomen eines schief hängenden Bildes ist allgemein bekannt. Dem liegt das selbe Problem zu Grunde, wie es bei einem in einer Flüssigkeit schwimmenden Körper auftritt: Eine momentenfreie Lagerung. Beim Koffer im Bild oben muss die Hand der Drehbewegung des Koffers entgegenwirken, in der Lagerung des Koffers wirkt ein Moment.



Links greift die Kraft ebenfalls so an, dass zwischen den Wirkungslinien der Kräfte ein Abstand gegeben wäre, wenn der Gegenstand waagerecht hängen würde. Da die Lagerung hier kein Moment aufbringen kann, bildet sich die Lage des aufgehängten Gegenstandes so aus, dass die beiden Wirkungslinien identisch sind.
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Stabilität
Ein stabiles System kehrt nach einer von außen aufgebrachten Störung wieder in seinen Ursprungszustand zurück.
Ein labiles System kehrt nach einer Störung nicht wieder in den Ursprungszustand zurück, sondern entfern sich ohne weiteres weiter vom Ursprungszustand.
Ein indifferentes Gleichgewicht liegt vor, wenn sich das System nach einer Störung in einem neuen Gleichgewichtszustand befindet, sich aber nicht weiter vom Ursprungszustand entfernt.

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Archimedisches Prinzip
Das Archimedische Prinzip besagt, dass auf einen Körper, der ganz oder teilweise in eine Flüssigkeit getaucht ist, eine Kraft wirkt, die der Gewichtskraft der Menge der Flüssigkeit entspricht, deren Volumen von dem Körper verdrängt wird.



Ein am Grund liegender Würfel von 1*1*1 m Kantenlänge verdrängt ein Volumen von 1 m3. Bei einer Dichte der Flüssigkeit von 1000 kg/m3 ergibt sich damit eine auf den Würfel wirkende Auftriebskraft von

FA = ρ * g * V = 1000 [kg/m3] * 9,81 [m/s2] * 1 [m3] = 9,81 [kN].

Dabei sind:
ρDichte der Flüssigkeit

gErdbeschleunigung

Vverdrängtes Volumen

Handelt es sich bei dem Würfel um Stahl, hat er selbst eine Masse von ca. 7850 kg. Das ergibt eine Gewichtskraft von 77 kN. Mit Blick auf das Kapitel Gleichgewicht lässt sich also folgendes sagen:
Der Würfel befindet sich am Grund liegend im Gleichgewicht. Auf ihn wirken folgende Kräfte ein:
1. seine eigene Gewichtskraft
2. die Auftriebskraft
3. die Kraft, die der Grund auf ihn ausübt
Die Summe aller dieser Kräfte ist null.

Bei einem schwimmenden Körper gilt grundsätzlich das selbe. Die auftretenden Kräfte, Gewichtskraft und Auftriebskraft, sind im Gleichgewicht.



Die Auftriebskraft ist wieder FA = ρ * g * V. Da der Körper schwimmt muss die Gewichtskraft genauso groß (und natürlich entgegengesetzt gerichtet) sein, damit ein Gleichgewicht herrscht. Die Auftriebskraft kann als im Volumenschwerpunkt des verdrängten Volumens angreifend angenommen werden. Das Gewicht des gesamten schwimmenden Körpers ist genau so groß, wie das Gewicht der vom eingetauchten Volumen verdrängten Flüssigkeit.
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Bewegung eines Pendels
Die Bewegung eines Pendels ist eine Drehung um seinen Aufhängepunkt.

Trennt man den unteren Körper ab und betrachtet nur seine Bewegung, findet eine Drehung statt, deren Mittelpunkt zunächst nicht bekannt ist. Bei einem schwimmenden Körper, wie dies in der Skizze schon angedeutet ist, besteht aber die Bedingung, dass das verdrängte Volumen sich nicht ändert. Bei einem Quader bedeutet das, dass sich auch die Fläche des eingetauchten Querschnitts nicht ändert. Den Skizzen ist zu entnehmen, dass damit der Drehpunkt nicht der selbe wie bei dem Pendel sein kann.

Die Betrachtung des Pendels ist dennoch von Interesse, da der theoretische Drehpunkt des Pendels als Maß für die Stabilität der Schwimmlage herangezogen wird.
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